Persamaan Kuadrat + Soal dan Pembahasan

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat dalam x => ax2 + bx + c =o  (a,b,c  € R) dan a ≠ 0 

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat ada 3, yaitu :

1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0

    Contoh :

    a. X2 + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8)

    b. X2  + x – 56   = 0 => (x + 8) (x – 7)

    c. X2 -6x – 27    = 0 => (x – 9) (x + 3)

    d. 2x2 – 5x – 3   = 0 => (2x – 1) (x + 3)

    e. 3x2 – 6x         = 0 => 3x(x – 2)

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)2 = q

      Ada beberapa langkah, yaitu :

      1.  Koefisien x2 harus 1

      2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x2 + mx = n

      3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q

   

    Contoh :

    a. x2 + 8x + 12           = 0

        x2 + 8x               = -12

        x2 + 8x + (1/2 . 8)2 = -12 + (1/2 . 8)2

        x2   + 8x + 16        = -12 + 16

               (x + 4)2       = 4

                x + 4         = ±√4

                      x       = -4 ± 2

                      x       = -6 , -2

3. RUMUS ABC => x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a

   Contoh :

    a. x2 + 8x + 5 => x1,2 = { -8 ± √(82 – 4.1.5) } / 2.1

                                          = { -8 ± √(64 – 20) } / 2

                                          = ( -8 ± √39 ) / 2

Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat
dari x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a dengan D = b2 - 4ac maka x1 = (-b + √D) / 2a dan x2 = (-b - √D) / 2a
* D adalah Deskriminan

1. x1 + x2 = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}

                    = (-b + √D - b - √D) / 2a

                    = -2b / 2a

                    = -b /a
Jadi, x1 + x2 = -b/a

2. x1 - x2 = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}

                  = (-b + √D + b + √D) / 2a

                  = 2√D / 2a

                  = √D /a

Jadi, x1 - x2 = √D/a

3. x1 . x2 = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}

                  = (b2 - D) / 4a2

                  = b2 - (b2 - 4ac) / 4a2

                  = (b2 - b2 + 4ac) / 4a2

                  = 4ac / 4a2

                  = c/a

Jadi, x1 . x2 = c/a

4. (x1 + x2)2 = x12 + 2(x1 . x2) + x22
     (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) = x12 + x22
Jadi, x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2)

5. (x1 + x2)3 = x13+ 3x12. x2 + 3x1 . x22 + x23
       (x1 + x2)3 -  3x12. x2 + 3x1 . x22 = x13 + x23
              (x1 + x2)3 -  3x1.x2(x1 + x2)  = x13 + x23 
Jadi, x13 + x23 = (x1 + x2)3 -  3x1.x2(x1 + x2)

contoh soal!

1. Persamaan kuadrat -2x2 +4x-5=0 akar2nya α dan β

    Tentukan : a.  α + β                 d. α3 + β3

                        b. α . β                    e. 1/α + 1/β

                        c. α2 + β2                f. 1/(α+2) + 1/(β+2)

   Jawaban :

   a. α + β     = -b/a = 2

   b. α . β      = c/a   = 5/2

   c. α2 + β2 = (α + β)2 - 2(α . β)

                    = 22 - 2.5/2

                    = 4 - 5

                    = -1

   d. α3 + β3 = (α + β)3 - 3α.β (α+β )

                    = 23  - 3.5/2.2

                    = 8 - 15

                    = -7

   e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ

                        = 2 / (5/2)

                        = 4/5

   f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}

                                      = {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}

                                      = (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)

                                      = 6 / (21/2)

                                      = 12/21 

                                      = 4/7

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru 

Ada 2 cara untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar2nya x1 dan x2 yaitu,

1. (x - x1) (x - x2) = 0

Contoh soal : Susunlah Persamaan kuadrat baru yang akar2nya adalah

a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)

                                  = x2 - 9x +14

b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}

                                    = (x+3) (x+4)

                                    = x2 + 7x + 12

c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)

                                   = (x+7) (x-2)

                                   = x2 + 5x - 14

d. 5 dan -2 => PKB = (x-5) {x-(-2)}

                                   = (x-5) (x+2)

                                   = x2 - 3x - 10

2. x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

 Contoh soal : 

1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+√5 dan 2-√5!

    Jawaban :  x1 + x2 = (2+√5) +(2-√5) = 4 

                            x1.x2 = (2+√5) (2-√5)  = -1

    Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

                       =>                    x2 - 4x - 1 = 0

2. x1 dan x2 adalah akar2 persamaan kuadrat  x2 - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.

Jawaban  : x1 + x2 = -b/a = 2 dan x1.x2 = c/a = 5

                     x1 = (x1 + 3) dan x2 = (x2 + 3)

maka, x1 + x2 = (x1 + 3) + (x2 + 3)                  dan             x1.x2 = (x1 + 3) (x2 + 3)     

                         = (x1 + x2) + 6                                                       = x1.x2 + 3(x1+x2) + 9

                         = 2 + 6                                                                   = 5 + 3.2 + 9

                         = 8                                                                          = 20

Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

                    =>                x2 - 8x + 20 = 0

                    * Deskriminan (D) => D = b2 - 4ac *

untuk menentukan jenis akar2 persamaan kuadrat, rumusnya :

a. D = 0 => Mempunyai 2 akar yang sama

b. D < 0 => Tidak mempunyai akar nyata (akar2nya imajiner)

c. D ≥ 0 => Mempunyai 2 akar nyata

d . D > 0 => Mempunyai 2 akar nyata dan berlawanan

Contoh Soal :

1. Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx2 + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar

    Jawaban : Syarat akar kembar D = 0, maka

                        b2 - 4ac = 32 - 4.k.k

                                     0 = 9 - 4k2

                                 4k2 = 9

                                     k = √(9/4)

                        k = ± 3/2

2. Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x2 - 2x + (m+1) = 0 Tidak mempunyai akar nyata.

     Jawaban : Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka

                                 b2 - 4ac < 0

                       22 - 4.1.(m+1) < 0

                               4 - 4m - 4 < 0

                                    0 - 4m < 0

                                       - 4m < 0

                                            m > 0

3. Tentukan P agar persamaan kuadrat x2 + px + p = 0 mempunyai 2 akar real dan berbeda.

     Jawaban : Syarat akar real dan berbeda D > 0, maka

                             b2 - 4ac > 0

                           p2 - 4.1.p > 0

                               p2 - 4p > 0

                              p(p - 4) > 0 

    Jadi, p < 0 dan p > 4 

 Contoh soal persamaan kuadrat dan pembahasannyaNomor 1Akar-akar dari persamaan x² - 7 x - 18 = 0 adalah...
A. 2 dan 9
B. -2 dan 9
C. 2 dan -9
D. -2 dan -9
E. 1/2 dan 9Pembahasan
Faktorkan saja x² - 7 x - 18 = 0 diperoleh (x - 9) (x + 2) = 0
Jadi, x1 = 9 dan x2 = -2Jawaban: B

Nomor 2
Persamaan kuadrat 2x² - 3x - 1 = 0 akar-akarnya adalah x1 dan x2, maka nilai dari x₁³  + x₂³ adalah...
A. 15/8
B. 25/8
C. 35/8
D. 45/8
E. 55/8Pembahasan
a = 2, b = -3, dan c = -1
x1 + x2 = -b/a = - (-3)/2 = 3/2
x1 . x2 = c/a = 2/-1 = - 1/2

x₁³  + x₂³ = (x₁ + x₂)³– 3 x₁ . x₂ (x₁ + x₂) = = (3/2)³ – 3 (-1/2) . 3/2 = 27/8 + 9/4

 x₁³  + x₂³ = 27/8 + 18/8 = 45/8

Jawaban: D

Nomor 3

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah...

A. x² + 7x + 10 = 0

B. x² - 7x + 10 = 0

C. x² + 3x + 10 = 0

D. x² + 3x - 10 = 0

E. x² - 3x - 10 = 0

Pembahasan:

A = 5 dan B = -2 maka:

(x - 5) (x + 2) = 0

x² - 5x + 2x - 10 = 0

x² - 3x - 10 = 0

Jawaban: E

Nomor 4

Jika p dan q akar-akar persamaan 3x² - 2x - 5 = 0 maka persamaan yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) adalah....

A. 3x² - 11x + 14 = 0

B. 3x² - 14x + 11 = 0

C. x² - 14x + 11 = 0

D. x² + 3x - 10 = 0

E. x² - 3x - 10 = 0

Jawaban

Ganti semua x dengan x - 2 sehingga:

3(x - 2)² + 7(x - 2) + 10 = 0

3(x² - 4x + 4) + 7x - 14 + 10 = 0

3x² - 14x + 11 = 0

Jawaban: B

Nomor 5

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x² + 18x + 10 = 0 adalah...

A. x² + 16x + 20 = 0 

B. x² + 16x + 40 = 0 

C. x² + 16x + 80 = 0 

D. x² + 16x + 120 = 0 

E. x² + 16x + 180 = 0 

Pembahasan

Sisipkan angka 2 (dari kata 2 kali)

x² + 8 . 2 x + 2² 10 = 0 

x² + 16 x + 40 = 0 

Jawaban: B

Nomor 6

Jika persamaan kuadrat (p + 1) x² - 2 (p + 3) x + 3p = 0 mempunyai dua akar sama, maka konstanta p = ...

A. -3 dan 3/2

B. 1 dan 3

C. 2 dan -3

D. -3/2 atau 3

E. 3 dan -9

Pembahasan

a = (p + 1), b = -2(p + 3), dan c = 3p.

syarat mempunyai dua akar yang sama adalah D = 0 dengan D = b² - 4 . a . c

0 = (-2(p + 3)² - 4 . (p + 1) . 3p

0 =  -2p² + 3p + 9 = 0 lalu faktorkan sehingga didapat p = 6/2 = 3 dan p = -3/2.

Jawaban: D

Nomor 7

 A dan B adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 4x + a - 4 = 0. Jika A = 3B maka nilai a yang memenuhi adalah...

A. 1

B. 3

C. 4

D. 7

E. 8

Pembahasan

A + B = - b/a = -4/1 = -4

A . B = c/a = a - 4 / 1 = a - 4

Karena A = 3B maka A + B = 3B + B = 4B = -4

B = -1

Masukkan nilai B = x = -1 ke dalam  x² + 4x + a - 4 = 0, sehingga diperoleh:

(-1)² + 4(-1) + a - 4 = 0

1 - 4 + a - 4 = 0

a = 7

Jawaban: D

Soal latihan persamaan kuadrat

Nomor 1
Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x² + px + q = 0, maka (x1 - x2)² adalah...
A. - 4 pq
B. p² - 4q
C. p(p - 4q)
D. p - 4 q
E. p (1 - 4q)Nomor 2
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x² + kx + k = 0 dan x1² + x2² = 15 maka nilai k sama dengan...
A. - 5
B. - 1
C. 0
D. 1
E. 5Nomor 3
A dan B adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 3x + k - 13 = 0. Jika A² - B² = 21, maka nilai k adalah...
A. -12
B. - 3
C. 3
D. 12
E. 13Nomor 4
Jika jumlah kedua akar persamaan x² + (2p - 3) x + 4p² - 25 = 0 sama dengan nol, maka akar-akar itu adalah...
A. 3/2 dan - 3/2
B. 5/2 dan - 5/2
C. 3 dan - 3
D. 4 dan - 4
E. 5 dan - 5Nomor 5
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2x² - 3x + 5 = 0 ialah...
A. 2x² - 5x + 3 = 0
B. 2x² + 3 x + 5 = 0
C. 3x² - 2x + 5 = 0
D. 3x² - 5x + 2 = 0
E. 5x² - 3x + 2 = 0Nomor 6
Persamaan kuadrat x² - 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 - 3 dan x2 - 3 adalah...
A. x² - 2x = 0
B. x² - 2x + 30 = 0
C. x² + x = 0
D. x² + x - 30 = 0
E. x² + x + 30 = 0Nomor 7
Nilai p supaya persamaan kuadrat x² - 6x + p = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan positif adalah...
A. p > 0
B. p < 9
C. 0 < p < 9
D. p > 9
E. p < 0Nomor 8
Persamaan kuadrat x² + mx + m = 0 mempunyai dua akar negatif yang berbeda. Ini dimungkinkan jika...
A. m < 0
B. B > 4
C. 0 < m < 4
D. m < 0 atau m > 4
E. m = 4Nomor 9
Jika n bilangan nyata, maka persamaan kuadrat nx² - (n + 6) x + 3 = 0 mempunyai...
A. 2 akar positif
B. 2 akar negatif
C. 2 akar sama
D. 2 akar real berlainan
E. akar tidak riilNomor 10
Akar-akar persamaan 2x² + ax - 3 = 0 diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan 3x² + 5x + 2b = 0. Nilai AB = ...
A. - 10
B. - 5
C. 2
D. 5
E. 10